Elementy matematyki dla studentów ekonomii i zarządzania

Zamiast wstępu 11

1. Elementy teorii mnogości 13
1.1. Algebra zbiorów 13
1.2. Iloczyny kartezjańskie 15
1.2.1.Potęgi kartezjańskie 16
1.2.2. Relacje 17
1.2.3. Dwa szczególne typy relacji 18
1.3. Zbiór liczb rzeczywistych 19

2. Liczby zespolone 23
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych 23
2.2. Postać trygonometryczna liczb zespolonych 26

3. Algebra liniowa 30
3.1. Przestrzenie liniowe 30
3.1.1.Przykłady przestrzeni liniowych 33
3.1.2.Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 34
3.1.3.Przekształcenia liniowe (homomorfizmy) 36
3.1.4.Przestrzenie liniowe generowane 37
3.1.5.Liniowa zależność i niezależność wektorów wprzestrzeni liniowej 38
3.2. Baza i wymiar przestrzeni liniowych 39
3.2.1.Układy wektorów rzędu pełnego 41
3.2.2.Układy wektorów a przekształcenie liniowe 42
3.2.3. Przekształcenia elementarne układów wektorów 42
3.3. Zbiory wypukłe i stożki w przestrzeniach liniowych 43
3.4. Przestrzenie euklidesowe 48
3.4.1. Ortogonalność w przestrzeniach euklidesowych 50
3.4.2. Związek między ortogonalnością a liniową niezależnością 51
3.5. Przestrzenie metryczne 52
3.5.1. Przykłady metryk w przestrzeniach Rn 53
3.5.2. Otoczenia punktów i kule w przestrzeniach metrycznych 54
3.6. Przestrzenie unormowane 55

4. Rachunek macierzowy 58
4.1. Rodzaje macierzy 59
4.2. Działania na macierzach 61
4.2.1. Porównywanie macierzy 61
4.2.2. Transponowanie macierzy 61
4.2.3. Mnożenie macierzy przez liczbę 62
4.2.4. Dodawanie macierzy 62
4.2.5. Mnożenie macierzy 63
4.3. Wyznacznik macierzy 67
4.3.1. Obliczanie wyznaczników macierzy 68
4.3.2. Własności wyznaczników 71
4.4. Macierze odwrotne 72
4.4.1. Własności macierzy odwrotnej 74
4.5. Rząd macierzy 74
4.5.1. Związek pomiędzy wyznacznikiem macierzy kwadratowej a rzędem 75
4.5.2. Obliczanie rzędu macierzy 76
4.6.Uogólnione macierze odwrotne 78
4.6.1. Własności uogólnionych macierzy odwrotnych 79

5. Układy równań liniowych 81
5.1. Układy równań liniowych i ich rozwiązania 81
5.1.1. Twierdzenie Kroneckera  Capellego 83
5.2. Jednorodne układy równań liniowych 84
5.3. Metody rozwiązywania układu równań liniowych 85
5.3.1.Strategie rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych 87
5.3.2. Rodzaje rozwiązań układu równań liniowych 91
5.4. Zastosowania uogólnionych macierzy odwrotnych do rozwiązywania układów równań liniowych 92

6. Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe 95
6.1.Określoność form kwadratowych 98
6.2. Badanie określoności form kwadratowych 100

7. Wektory własne i wartości własne macierzy 103
7.1.Własności wektorów własnych i wartości własnych 105

8.Podstawy analizy matematycznej w zakresie funkcji jednej zmiennej 107
8.1. Granice funkcji 107
8.1.1.Granice jednostronne 110
8.1.2.Własności granic funkcji jednej zmiennej 111
8.1.3.Asymptoty wykresów funkcji y=f(x) 112
8.2. Ciągłość funkcji 114
8.2.1.Własności funkcji ciągłych 115
8.2.2.Jednostronna ciągłość funkcji 117

9. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 119
9.1. Pochodne funkcji 120
9.1.1.Interpretacja geometryczna pierwszej pochodnej 121
9.1.2.Podstawowe wzory rachunku różniczkowego 123
9.1.3. Własności pierwszej pochodnej 124
9.1.4. Pochodne jednostronne 125
9.1.5. Pochodne wyższych rzędów 126
9.2. Różniczki funkcji 127
9.2.1.Interpretacja geometryczna różniczki rzędu pierwszego 128
9.2.2.Własności różniczki pierwszego rzędu 129
9.2.3.Różniczki wyższych rzędów 129
9.3. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego 130
9.3.1.Twierdzenia o własnościach funkcji różniczkowalnych 130
9.3.2.Reguła de l’Hospitala 132
9.3.3.Wzór Taylora 133
9.4.Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania przebiegu zmienności funkcji 136
9.4.1.Monotoniczność funkcji 136
9.4.2.Ekstrema funkcji 137
9.4.3.Wypukłość funkcji 140
9.4.4.Punkty przegięcia wykresu funkcji 142
9.5. Niektóre charakterystyki zmienności funkcji 144

10. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 146
10.1.Całka nieoznaczona 146
10.1.1.Podstawowe wzory rachunku całkowego dotyczące całek nieoznaczonych 148
10.1.2.Ogólne własności całki nieoznaczonej 149
10.1.3.Metody całkowania funkcji 150
10.2. Całka oznaczona 151
10.2.1.Interpretacja geometryczna sumy Riemanna 153
10.2.2.Interpretacja geometryczna całki oznaczonej 155
10.2.3.Warunki istnienia całki oznaczonej Riemanna 155
10.2.4.Związek całki oznaczonej z funkcją pierwotną icałką nieoznaczoną 157
10.2.5.Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego dotyczące całki oznaczonej 157
10.3.Całki niewłaściwe 160
10.4.Całka jako funkcja granicy całkowania 161
10.5. Całka Stieltjesa 162
10.5.1.Własności całki Stieltjesa 164

11. Szeregi 166
11.1. Szeregi liczbowe 166
11.1.1.Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich 167
11.1.2.Działania na szeregach liczbowych 170
11.1.3.Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnych 170
11.1.4.Szeregi naprzemienne 171
11.1.5.Sumy niektórych szeregów liczbowych 172
11.2.Ciągi i szeregi funkcyjne 172
11.2.1.Rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych 173
11.2.2.Szeregi funkcyjne 175
11.2.3.Twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów funkcyjnych 176
11.3. Szeregi potęgowe 178

12.Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 180
12.1. Funkcje wielu zmiennych 180
12.2. Pochodne funkcji wielu zmiennych 182
12.2.1.Pochodne cząstkowe wyższych rzędów funkcji wielu zmiennych 186
12.3. Różniczki funkcji wielu zmiennych 191
12.3.1.Zastosowanie różniczek pierwszego rzędu doobliczeń przybliżonych funkcji wielu zmiennych 193
12.3.2.Różniczki wyższych rzędów 194
12.4.Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych 196
12.4.1.Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 196
12.4.2.Wypukłość funkcji wielu zmiennych 197
12.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych 198
12.5.1.Ekstrema bezwarunkowe 198
12.5.2.Największa i najmniejsza wartość funkcji wieluzmiennych w zbiorze AR n 201
12.5.3.Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych 202
12.6. Pochodne kierunkowe funkcji wielu zmiennych 208
12.7. Różniczkowanie funkcji wektorowych wielu zmiennych 209
12.8.Różniczkowanie form liniowych, dwuliniowych ikwadratowych 211

13. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych (całki wielokrotne) 213
13.1. Całki podwójne 213
13.1.1.Określenie całki podwójnej 216
13.1.2.Zagadnienie istnienia całki podwójnej 218
13.1.3.Własności całki podwójnej 220
13.1.4.Metody obliczania całek podwójnych 222
13.1.5.Niewłaściwe całki podwójne 223
13.2. Całki potrójne i wielokrotne 223
13.2.1.Metody obliczania całki potrójnej 225
13.2.2.Całki wielokrotne (krotności większej niż 3) 226
13.3. Całki wielokrotne jako funkcje granic całkowania 227

14. Równania różniczkowe zwyczajne 229
14.1. Podstawowe definicje i określenia 229
14.2. Podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych 233
14.3.Liniowe równania różniczkowe zwyczajne 239
14.4. Układy równań różniczkowych zwyczajnych 243

Literatura 247