Statystyka matematyczna

Słowo wstępne 9

1. Wprowadzenie do statystyki 13
1.1. Nowy paradygmat 13
1.2. Nieco historii 15
1.3. Czym jest statystyka 19
1.4. Podstawowe pojęcia statystyki 20
1.5. Podstawowe statystyki próbkowe 22
1.6. Zadania 29

2. Podstawy wnioskowania statystycznego 33
2.1. Statystyka a rachunek prawdopodobieństwa 33
2.2. Model statystyczny 35
2.3. Podstawowe zagadnienia wnioskowania statystycznego 39
2.4. Podstawowe twierdzenie statystyki matematycznej 41
2.5. Statystyki 48
2.6. Statystyki dostateczne 50
2.7. Kryterium faktoryzacji 55
2.8. Minimalna statystyka dostateczna 58
2.9. Wykładnicze rodziny rozkładów 63
2.10. Zadania 67

3. Podstawy teorii estymacji 71
3.1. Estymatory 71
3.2. Nieobciążoność 75
3.3. Efektywność estymatorów 81
3.3.1. Estymator nieobciążony o minimalnej wariancji 81
3.3.2. Informacja Fishera 85
3.3.3. Nierówność Craméra–Rao 89
3.3.4. Efektywność estymatorów 91
3.3.5. Efektywność względna 98
3.3.6. Efektywność w modelach z wielowymiarową przestrzenią parametrów 99
3.4. Zgodność 102
3.5. Błąd standardowy i repróbkowanie 106
3.5.1. Błąd standardowy estymatora 106
3.5.2. Jackknife 107
3.5.3. Bootstrap 115
3.6. Zadania 119

4. Metody konstrukcji estymatorów 125
4.1. Metoda momentów 125
4.2. Metoda największej wiarogodności 128
4.3. Algorytm EM 140
4.4. Metoda kwantyli 144
4.5. Kilka słów o innych metodach wyznaczania estymatorów 147
4.6. Zadania 150

5. Estymacja bayesowska 155
5.1. Dwa schematy wnioskowania 155
5.2. Od rozkładu a priori do rozkładu a posteriori 157
5.3. Estymator bayesowski 162
5.4. Uogólnione estymatory bayesowskie 168
5.5. Rozkład a priori Jeffreysa 171
5.6. Estymator maksimum a posteriori (MAP) 172
5.7. Zadania 173

6. Estymacja przedziałowa 177
6.1. Zmiana optyki – przykład wprowadzający 177
6.2. Przedziały ufności 179
6.3. Funkcja wiodąca 184
6.4. Przedziały ufności dla wybranych parametrów 186
6.4.1. Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej 186
6.4.2. Przedziały ufności dla wariancji 191
6.4.3. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury 194
6.5. Przedziały ufności budowane na ENW 198
6.6. Bootstrapowe przedziały ufności 199
6.7. Estymacja przedziałowa o zadanej precyzji 202
6.8. Jednostronne przedziały ufności 207
6.9. Obszary ufności 211
6.10. Przedziały ufności w ujęciu teoriodecyzyjnym 211
6.11. Bayesowskie przedziały ufności 213
6.12. Przedziały predykcji 216
6.13. Przedziały tolerancji 218
6.14. Zadania 219

7. Podstawy weryfikacji hipotez 225
7.1. Pojęcia podstawowe 225
7.2. Własności testów statystycznych 228
7.3. Testy jednostajnie najmocniejsze 234
7.4. Testy nieobciążone 248
7.5. Test ilorazu wiarogodności 252
7.6. Testy statystyczne w ujęciu teoriodecyzyjnym 256
7.7. Testy bayesowskie 258
7.8. Zadania 261

8. Weryfikacja hipotez w praktyce 265
8.1. Testowanie hipotez w praktyce 265
8.2. Podstawowe testy parametryczne – modele jednopróbkowe 272
8.2.1. Testy dla wartości oczekiwanej 272
8.2.2. Testy dla wariancji i odchylenia standardowego 274
8.2.3. Testy dla wskaźnika struktury 276
8.3. Podstawowe testy parametryczne – modele dwupróbkowe 277
8.3.1. Wprowadzenie 277
8.3.2. Testy dla dwóch wartości oczekiwanych 278
8.3.3. Testy dla dwóch wariancji 281
8.3.4. Testy dla dwóch wskaźników struktury 282
8.4. Związek testów istotności z przedziałami ufności 283
8.5. Elementy analizy wariancji 285
8.5.1. Jednoczynnikowa ANOVA 285
8.5.2. Dwuczynnikowa ANOVA 295
8.6. Testy zgodności 299
8.6.1. Wprowadzenie 299
8.6.2. Idea testu chi-kwadrat 301
8.6.3. Test zgodności chi-kwadrat 302
8.6.4. Testy bazujące na dystrybuancie empirycznej 305
8.6.5. Testy normalności 309
8.7. Testy zgodności w problemach z kilkoma próbkami 310
8.8. Test jednorodności chi-kwadrat 313
8.9. Test niezależności chi-kwadrat 315
8.10. Zadania 318

Aneks A 327
A.1. Przydatne definicje, fakty i twierdzenia 327
A.2. Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa 334
A.3. Rozkłady wybranych statystyk próbkowych 340

Aneks B. Tablice statystyczne 343

Bibiografia 347

Skorowidz 353