Fizyka matematyczna. Wybrane zagadnienia

Przedmowa 5
1. Elementy analizy tensorowej 9
1.1. Wprowadzenie 9
1.2. Pojęcia wstępne. Zasady zapisu wskaźnikowego 9
1.3. Tensory 11
1.4. Reguła ilorazu 16
1.5. Tensor metryczny i jego właściwości 18
1.6. Różniczkowanie tensorów 22
1.6.1. Wprowadzenie 22
1.6.2. Symbole Christofella 22
1.6.3. Pochodna absolutna 24
1.6.4. Prędkość i przyspieszenie punktu – przykład 26
1.6.5. Pochodna kowariantna 28
1.7. Współrzędne fizyczne tensorów 29
1.8. Bibliografia 34
2. Elementy rachunku wariacyjnego 35
2.1. Wprowadzenie 35
2.2. Przykłady prowadzące do zagadnień rachunku wariacyjnego 35
2.2.1. Zagadnienie brachistochrony 35
2.2.2. Zagadnienie izoperymetrii 37
2.2.3. Zagadnienie linii geodezyjnych 38
2.3. Podstawowe pojęcia rachunku wariacyjnego 38
2.3.1. Przestrzeń liniowa 38
2.3.2. Przestrzeń unormowana 39
2.3.3. Zbieżność. Przestrzeń zupełna 41
2.4. Funkcjonał. Ciągłość funkcjonału 41
2.5. Wariacja funkcji i wariacja funkcjonału 43
2.6. Ekstremum funkcjonału. Warunek konieczny istnienia ekstremum 45
2.7. Lemat Lagrange’a 47
2.8. Równanie Eulera. Szczególne przypadki równania Eulera 48
2.9. Analogie w badaniu funkcji i funkcjonałów 51
2.10. Ekstremum funkcjonału zależnego od n funkcji 53
2.11. Ekstremum warunkowe 55
2.12. Podstawowy wzór dla wariacji funkcjonału 58
2.12.1. Wprowadzenie 58
2.12.2. Ogólny wzór dla wariacji funkcjonału zależnego od jednej funkcji 58
2.12.3. Podstawowy wzór dla wariacji funkcjonału zależnego od n funkcji 61
2.12.4. Zadanie z ruchomymi końcami 62
2.13. Zmienne kanoniczne i postać kanoniczna równań Eulera 64
2.14. Twierdzenie Noether 68
2.15. Prawa ruchu układu punktów materialnych – zasady zachowania 72
2.15.1. Przestrzeń konfiguracyjna 72
2.15.2. Zasada najmniejszego działania 73
2.15.3. Prawo zachowania energii 75
2.15.4. Prawo zachowania pędu 75
2.15.5. Prawo zachowania momentu pędu 77
2.16. Bezpośrednie metody rachunku wariacyjnego 78
2.16.1. Wprowadzenie 78
2.16.2. Metoda Ritza 79
2.16.3. Metoda Galerkina 84
2.17. Bibliografia 86
3. Wartości własne, funkcje własne, układy ortogonalne 87
3.1. Wprowadzenie 87
3.2. Wartości własne i funkcje własne 87
3.3. Zagadnienie Sturma-Liouville’a 90
3.4. Równanie Bessela i funkcje Bessela pierwszego rodzaju 94
3.5. Funkcje Bessela drugiego rodzaju 98
3.6. Zmodyfikowane funkcje Bessela 99
3.7. Bibliografia 101
4. Równania różniczkowe drugiego rzędu o pochodnych cząstkowych 102
4.1. Wprowadzenie 102
4.2. Klasyfikacja liniowych równan róniczkowych 103
4.3. Równania typu hiperbolicznego. Równanie drgań struny 108
4.4. Warunki początkowe i brzegowe dla równania struny 110
4.5. Metoda d’Alemberta rozchodzenia się fal w ośrodku nieograniczonym 111
4.6. Metoda rozdziału zmiennych 114
4.7. Metoda rozdziału zmiennych dla równań niejednorodnych 118
4.8. Drgania poprzeczne membrany kołowej 121
4.9. Rozchodzenie się fal 127
4.9.1. Wprowadzenie 127
4.9.2. Fale harmoniczne 127
4.9.3. Prędkość grupowa 130
4.9.4. Fale elektromagnetyczne 131
4.10. Równania typu parabolicznego. Równanie przewodnictwa ciepła 135
4.11. Warunki początkowe i brzegowe dla równania przewodnictwa ciepła 137
4.12. Metoda rozdziału zmiennych dla równania parabolicznego 141
4.13. Równania typu eliptycznego. Równania Laplace’a i Poissona 143
4.14. Przykładowe zagadnienia prowadzące do równań Laplace’a i Poissona 144
4.14.1. Potencjał grawitacyjny 144
4.14.2. Potencjał elektrostatyczny 146
4.14.3. Bezwirowy ruch płynu idealnego 147
4.14.4. Stacjonarne pole temperatury 147
4.15. Warunki brzegowe dla równań Laplace’a i Poissona 148
4.16. Wzory Greena. Metoda funkcji Greena 149
4.17. Bibliografia 156
5. Elementy teorii dystrybucji 157
5.1. Wprowadzenie 157
5.2. Przestrzeń funkcji podstawowych. Definicja dystrybucji 158
5.3. Działania na dystrybucjach 160
5.4. Różniczkowanie dystrybucji 162
5.5. Uwagi o dystrybucjach w przypadku wielu zmiennych 165
5.6. Zbieżność ciągu dystrybucji 168
5.7. Iloczyn tensorowy i splot dystrybucji 173
5.8. Zastosowanie dystrybucji do rozwiązywania równań różniczkowych 176
5.9. Przekształcenia Laplace’a i Fouriera funkcji 181
5.10. Przekształcenie Fouriera dystrybucji 185
5.11. Bibliografia 191
Literatura 192