Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych, technologicznych

Wstęp 9
1. Wybrane fakty z analizy i algebry liniowej 11
1.1. Podstawowe pojęcia i definicje 11
1.1.1. Symbole Landaua O i o 13
1.2. Macierze 14
1.2.1. Funkcje macierzy 14
1.2.2. Wartości i wektory własne macierzy 16
1.2.3. Dodatniość w przestrzeniach wektorowych 23
1.2.4. Macierze Metzlera i twierdzenie Perrona-Frobeniusa 24
1.3. Uogólnienia pojęcia różniczkowalności 30
1.4. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 33
1.4.1. Twierdzenie Taylora 34
1.5. Twierdzenie o funkcji uwikłanej 35
2. Równania różniczkowe i różnicowe 37
2.1. Równania różnicowe 37
2.1.1. Liniowe równanie różnicowe 38
2.1.2. Równania różnicowe sprowadzalne do równania liniowego 40
2.2. Przegląd równań różniczkowych zwyczajnych mających jawne rozwiązania 44
2.2.1. Równania o zmiennych rozdzielonych 45
2.2.2. Równania liniowe 53
2.2.3. Wybrane równania wyższych rzędów 55
2.2.4. Równania redukowalne do równań pierwszego rzędu 56
3. Zagadnienie Cauchy’ego 65
3.1. Podstawowe pojęcia 65
3.2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań 66
3.2.1. Pojęcia i wyniki pomocnicze 66
3.2.2. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa 68
3.2.3. Przedłużanie rozwiązań 70
3.2.4. Rozwiązalność układów równań liniowych 76
3.2.5. Inne twierdzenia o istnieniu rozwiązań 86
3.2.6. Ciągła zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów 89
3.2.7. Nieujemność rozwiązań 92
3.2.8. Nieujemność rozwiązań układów równań liniowych 93
3.3. Nierówności różniczkowe 94
4. Układy dynamiczne 107
4.1. Pojęcia podstawowe 107
4.2. Długookresowa dynamika układów liniowych 109
4.3. Trajektorie, portrety fazowe i zbiory graniczne 114
4.3.1. Trajektorie i ich własności 114
4.3.2. Elementarne metody szkicowania portretów fazowych 117
4.3.3. Zbiory graniczne 126
4.4. Stabilność rozwiązań 130
4.5. Topologiczna równoważność układów dynamicznych 140
5. Funkcja Lapunowa i jej uogólnienia 145
5.1. Lokalna stabilność punktu stałego 145
5.2. Globalna stabilność punktu stałego 153
5.3. Zasada LaSalle’a 157
5.4. Stabilność brzegowych punktów stałych 160
5.5. Nieróżniczkowalne funkcje Lapunowa 164
5.6. Twierdzenia odwrotne do twierdzenia Lapunowa i ich zastosowania 172
6. Dalsze aspekty teorii układów dynamicznych 183
6.1. Rozmaitość stabilna, niestabilna, centralna 183
6.2. Odwzorowanie Poincarégo 203
6.3. Twierdzenie Poincarégo-Bendixona 209
6.4. Kryterium Bendixona i uogólnienie Dulaca 218
6.5. Bifurkacje 225
6.5.1. Bifurkacje lokalne 225
6.5.2. Bifurkacja Hopfa 230
6.5.3. Bifurkacje globalne 237
7. Modele wieloskalowe i zaburzone układy równań różniczkowych 245
7.1. Twierdzenie Tichonowa 247
7.2. Jednostajne twierdzenie Tichonowa 252
7.3. Opóźniona wymiana stabilności 257
7.3.1. Bifurkacja transkrytyczna 259
7.3.2. Bifurkacja widłowa 263
7.3.3. Bifurkacja wsteczna 264
8. Fale wędrujące 275
8.1. Fale wędrujące w kontekście układów dynamicznych 276
8.2. Metody konstrukcji rozwiązań w postaci fal wędrujących 294
8.2.1. Metoda tangensa hiperbolicznego i jej uogólnienia 295
8.2.2. Potrzebne i niepotrzebne uogólnienia 300
9. Podstawowa liczba reprodukcyjna 305
9.1. Dodatkowe własności macierzy Metzlera 305
9.2. Definicja podstawowej liczby reprodukcyjnej 306
9.2.1. Macierz następnego pokolenia 306
9.3. Matematyczna definicja R₀ 309
9.4. R₀ a lokalna i globalna stabilność DFE 322
Skorowidz 335
Bibliografia 339